Question

1．圓C過點M（-2，0）及原點，且圓心C在直線x+y=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）定點A（1，3），由圓C外一點P（a，b）向圓C引切線PQ，切點為Q，且滿足|PQ|=|PA|．
①求|PQ|的最小值及此刻點P的坐標；
②求||PC|-|PA||的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知求出線段OM的垂直平分線方程為x=-1，與直線方程x+y=0聯(lián)立，求出圓心坐標，進一步求出圓的半徑，則圓的方程可求；
（2）①設出P點坐標，由題意可得：|PQ|²=|PC|²-|CQ|²，結合|PQ|=|PA|可得P的橫縱坐標的關系，代入兩點間的距離公式，利用配方法求得|PQ|的最小值并求得點P的坐標；
②求出C關于直線l：2x+2y-5=0的對稱點為C′（m，n），結合三角形兩邊之差小于第三邊得答案．

解答 解：（1）∵M（-2，0），∴線段OM的垂直平分線方程為x=-1，
又圓心C在直線x+y=0上，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴圓心C的坐標為（-1，1），則半徑r=|OC|=$\sqrt{2}$，
∴圓C的方程為（x+1）²+（y-1）²=2；
（2）①設P（a，b），連結PC，CQ，
∵Q為切點，∴PQ⊥CQ，
由勾股定理得：|PQ|²=|PC|²-|CQ|²，
∵|PQ|=|PA|，∴（a+1）²+（b-1）²-2=（a-1）²+（b-3）²，
化簡得2a+2b-5=0；
∴$|{PQ}|=|{PA}|=\sqrt{{{（a-1）}^2}+{{（b-3）}^2}}$=$\sqrt{{{（a-1）}^2}+{{（\frac{5-2a}{2}-3）}^2}}$=$\sqrt{2{{（a-\frac{1}{4}）}^2}+\frac{9}{8}}$，
∴當$a=\frac{1}{4}$時，${|{PQ}|_{min}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$，
此時P點坐標為$（\frac{1}{4}，\frac{9}{4}）$；
②設C關于直線l：2x+2y-5=0的對稱點為C′（m，n），
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{n-1}{m+1}×（-1）=-1\\ 2×\frac{m-1}{2}+2×\frac{n+1}{2}-5=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{3}{2}\\ n=\frac{7}{2}\end{array}\right.$，∴${C^'}（\frac{3}{2}，\frac{7}{2}）$，
∴$|{|{PC}|-|{PA}|}|=|{|{P{C^'}}|-|{PA}|}|≤|{{C^'}A}|=\sqrt{{{（1-\frac{3}{2}）}^2}+{{（3-\frac{7}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
故||PC|-|PA||的最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查圓的方程的求法，考查了直線和圓位置關系的應用，訓練了配方法及放縮法求最值，是中檔題．