Question

1．已知x＞0，y＞0，x+y+3=xy，且不等式（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立．則實數a的取值范圍是a≤$\frac{37}{6}$．

Answer 1

分析 由基本不等式和題意可得x+y的范圍，變形恒成立的式子由函數的單調性可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，x+y+3=xy，
∴由基本不等式可得x+y+3=xy≤（$\frac{x+y}{2}$）²，
解關于x+y的不等式可得x+y≥6，
∵不等式（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，
∴a≤（x+y）+$\frac{1}{x+y}$恒成立，
由函數單調性可得當x+y=6時（x+y）+$\frac{1}{x+y}$取最小值$\frac{37}{6}$，
∴a≤$\frac{37}{6}$，
故答案為：a≤$\frac{37}{6}$．

點評 本題考查基本不等式求最值，涉及函數的單調性，屬中檔題．