3．已知拋物線C：y=2x2和直線l：y=kx+1，O為坐標原點．
（1）求證：l與C必有兩交點；
（2）設(shè)l與C交于A，B兩點，且直線OA和OB斜率之和為1，求k的值．

分析 （1）聯(lián)立拋物線C：y=2x2和直線l：y=kx+1，可得2x2-kx-1=0，利用△＞0，即可證明l與C必有兩交點；
（2）根據(jù)直線OA和OB斜率之和為1，利用韋達定理可得k的值．

解答 （1）證明：聯(lián)立拋物線C：y=2x2和直線l：y=kx+1，可得2x2-kx-1=0，
∴△=k2+8＞0，∴l(xiāng)與C必有兩交點；
（2）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=1①
因為y1=kx1+1，y2=kx2+1，代入①，得2k+（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=1②
因為x1+x2=$\frac{1}{2}$k，x1x2=-$\frac{1}{2}$，代入②得k=1．

點評 本題主要考查拋物線的方程與簡單性質(zhì)、直線的一般式方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，以及方程思想，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

17．已知集合M={0，1}，N={x|x=2n，n∈Z}，則M∩N為（　�。�
A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

18．已知復(fù)數(shù)$z=\frac{3-bi}{i}（{b∈R}）$的實部和虛部相等，則|z|=（　　）
A．2B．3C．$2\sqrt{2}$D．$3\sqrt{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

15．若集合A={y|y=x${\;}^{\frac{1}{3}}$}，B={x|y=ln（x-1）}，則A∩B等于（　　）
A．[1，+∞）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（-∞，1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

2．下列命題正確的是（　�。�
A．y=x+$\frac{1}{x}$的最小值為2
B．命題“?x∈R，x2+1＞3x”的否定是“?x∈R，x2+1≤3x”
C．“x＞2“是“$\frac{1}{x}$＜$\frac{1}{2}$”的充要條件
D．?x∈（0，$\frac{1}{3}$），（$\frac{1}{2}$）x＜log${\;}_{\frac{1}{3}}$x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

8．在等比數(shù)列中，若a4•a7+a5•a6=20，則此數(shù)列前10項的積為105．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

15．函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-1}$，其中x∈[-2，1]的值域為[$\frac{1}{8}$，2]．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．已知函數(shù)f（x）=log2$\frac{1+x}{1-x}$；
（1）解方程f（x）=1；
（2）設(shè)x∈（-1，1），a∈（1，+∞），證明：$\frac{ax-1}{a-x}$∈（-1，1），且f（$\frac{ax-1}{a-x}$）-f（x）=-f（$\frac{1}{a}$）；
（3）設(shè)數(shù)列{xn}中，x1∈（-1，1），xn+1=（-1）n+1$\frac{{3{x_n}-1}}{{3-{x_n}}}$，n∈N*，求x1的取值范圍，使得x3≥xn對任意n∈N*成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

13．已知集合M={-1，0}，N=（y|y=1-cos$\frac{π}{2}$x，x∈M），則集合M∩N的真子集的個數(shù)是（　�。�
A．1B．2C．3D．4

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