Question

18．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{3π}{2}$）（x∈R），給出下面命題錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． 函數(shù) f（x）的最小正周期為π
• B． 函數(shù) f（x）是偶函數(shù)
• C． 函數(shù) f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{3π}{4}$對(duì)稱
• D． 函數(shù) f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上是增函數(shù)

Answer 1

分析 使用誘導(dǎo)公式化簡得f（x）=-cos2x，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求出周期，奇偶性，對(duì)稱軸，單調(diào)區(qū)間進(jìn)行判斷．

解答 解：f（x）=sin（2x+$\frac{3π}{2}$）=sin（2x+2π-$\frac{π}{2}$）=sin（2x-$\frac{π}{2}$）=-cos2x．
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}=π$，故A正確．
∵f（-x）=-cos（-2x）=-cos2x=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)，故B正確．
令2x=kπ，解得x=$\frac{kπ}{2}$，
∴f（x）的對(duì)稱軸為直線x=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，故C錯(cuò)誤．
令2kπ≤2x≤π+2kπ，解得kπ≤x≤$\frac{π}{2}$+kπ，
∴f（x）的增區(qū)間為[kπ，$\frac{π}{2}$+kπ]，k∈Z．
當(dāng)k=0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為[0，$\frac{π}{2}$]，故D正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了誘導(dǎo)公式，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．