Question

6．平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，左、右焦點(diǎn)分別是P和Q，以P為圓心，以3為半徑的圓與以Q為圓心，以1為半徑的圓相交，交點(diǎn)在橢圓C₁上．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}+2}$=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，若動(dòng)直線l：y=kx+m（k，m∈R）與橢圓C₂有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且F₁M⊥l于M，F(xiàn)₂N⊥l于N，設(shè)S為四邊形F₁MNF₂的面積，請(qǐng)求出S的最大值，并說(shuō)明此時(shí)直線l的位置；若S無(wú)最大值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，計(jì)算即可得到b，進(jìn)而得到橢圓C的方程；
（Ⅱ）將直線l的方程y=kx+m代入橢圓C的方程3x²+4y²=12中，得到關(guān)于x的一元二次方程，由直線l與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，△=0，即可得到m，k的關(guān)系式，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得到d₁=|F₁M|，d₂=|F₂N|．當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)直線l的傾斜角為θ，則|d₁-d₂|=|MN|×|tanθ|，即可得到四邊形F₁MNF₂面積S的表達(dá)式，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出S的最大值

解答 解：（Ⅰ）由題意可知，|PF₁|+|PF₂=|2a=4，可得a=2，
又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²-c²=b²，
可得b=1，即有橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
將直線l的方程y=kx+m代入橢圓C的方程3x²+4y²=12中，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．                
由直線l與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=0，
化簡(jiǎn)得：m²=4k²+3．                          
設(shè)d₁=|F₁M|=$\frac{|-k+m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，d₂=|F₂M|=$\frac{|k+m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$
當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)直線l的傾斜角為θ，
則|d₁-d₂|=|MN|×|tanθ|，
∴S=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{k}$•|d₁-d₂|•（d₁+d₂）=$\frac{2|m|}{{k}^{2}+1}$=$\frac{8}{|m|+\frac{1}{|m|}}$，
∵m²=4k²+3，∴當(dāng)k≠0時(shí)，|m|＞$\sqrt{3}$，
∴|m|+$\frac{1}{|m|}$$＞\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴S＜2$\sqrt{3}$．
當(dāng)k=0時(shí)，四邊形F₁MNF₂是矩形，S=2$\sqrt{3}$．   
所以四邊形F₁MNF₂面積S的最大值為2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、等差數(shù)列、二次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想．