Question

16．如圖，AB為圓O的直徑，CB是圓O的切線，弦AD∥OC．
（Ⅰ）證明：CD是圓O的切線；
（Ⅱ）AD與BC的延長線相交于點(diǎn)E，若DE=3OA，求∠AEB 的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OD，由弦AD∥OC，易證得∠COB=∠COD，繼而證得△COB≌△COD（SAS），即可得∠ODC=∠OBC，然后由BC與⊙O相切于點(diǎn)B，可得∠ODC=90°，即可證得CD是⊙O的切線．
（Ⅱ）利用射影定理，求出AD，即可求∠AEB 的大小．

解答 （Ⅰ）證明：連接OD
∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠COB=∠COD，
在△COB和△COD中，OB=OD，∠COB=∠COD，OC=OC，
∴△COB≌△COD（SAS），
∴∠ODC=∠OBC，
∵BC與⊙O相切于點(diǎn)B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（Ⅱ）解：設(shè)OA=1，AD=x，則AB=2，AE=x+3，
由AB²=AD•AE得x（x+3）=4，∴x=1，
∴∠OAD=60°，∠AEB=30°．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及射影定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．