Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+1，記f（x）的導數(shù)為f′（x）．
（1）若曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為-3，且x=2時y=f（x）有極值，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求導函數(shù)，利用曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為-3，且x=2時，y=f（x）有極值，建立兩個方程，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）確定函數(shù)的極值點，利用函數(shù)的最值在極值點處及端點處取得，即可得到結(jié)論．

解答 解：f′（x）=3x²+2ax+b，
（1）由題意，得f′（1）=3+2a+b=-3，f′（2）=12+4a+b=0，
解得a=-3，b=0，∴f（x）=x³-3x²+1；           
（2）由（1）知，f′（x）=3x²-6x=0，解得x=0或x=2．
當-1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）在（-1，0）是增函數(shù)，
當0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）是減函數(shù)，
f（0）=1，f（1）=-1，f（-1）=-3，
∴f（x）在[-1，1]上的最大值為1，最小值為-3．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值與最值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．