Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA=2AB=2
（1）若F為PC的中點(diǎn)，求證：EF⊥平面PAC；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積V．

Answer 1

分析 （1）先證 CD⊥平面PAC，由三角形中位線的性質(zhì)得EF∥CD，得到EF⊥平面PAC；
（2）把四邊形面積分成2個(gè)直角三角形面積之和，代入棱錐體積公式進(jìn)行計(jì)算．

解答 （1）證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
又AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．
∵E、F分別為PD、PC中點(diǎn)，
∴EF∥CD，
∴EF⊥平面PAC；
（2）解：在Rt△BAC中，∠ABC═90°，∠BAC=60°，AB=1，
∴BC=$\sqrt{3}$，AC=2；
在Rt△DAC中，∠ACD═90°，∠CAD=60°，AC=2，
∴CD=2$\sqrt{3}$，AD=4；
故底面ABCD的面積為S=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$×S×PA=$\frac{1}{3}$×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$×2=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查用分割法求出棱錐的底面積，直線與平面垂直的判定，考查了學(xué)生的空間想象力及計(jì)算能力，屬于中檔題．