Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的右焦點為F（$\sqrt{3}$，0），上下兩個頂點與點F恰好是正三角形的三個頂點．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過原點O的直線l與橢圓交于A，B兩點，如果△FAB為直角三角形，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過題意直接計算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過設(shè)直線l方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．分FA⊥FB、FA與FB不垂直兩種情況討論即可．

解答 解：（Ⅰ）由題可知c=$\sqrt{3}$，a=2b，
∵b²+c²=a²，∴a²=4，b²=1，
∴橢圓C的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由題，當△FAB為直角三角形時，顯然過原點O的直線l斜率存在，
設(shè)直線l方程為：y=kx，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①當FA⊥FB時，$\overrightarrow{FA}$=（x₁-$\sqrt{3}$，y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-$\sqrt{3}$，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，消去y得：（1+4k²）x²-4=0，
由韋達定理知：x₁+x₂=0，x₁x₂=-$\frac{4}{1+4{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=$（{x}_{1}-\sqrt{3}，k{x}_{1}）$•$（{x}_{2}-\sqrt{3}，k{x}_{2}）$=x₁x₂-$\sqrt{3}$（x₁+x₂）+3+k²x₁x₂=（1+k²）•（-$\frac{4}{1+4{k}^{2}}$）+3=0，
解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$，此時直線l的方程為：y=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$x；
②當FA與FB不垂直時，根據(jù)橢圓的對稱性，不妨設(shè)∠FAB=$\frac{π}{2}$，
即點A既在橢圓上又在以O(shè)F為直徑的圓上．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}=1}\\{（{x}_{1}-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+{{y}_{1}}^{2}=（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}\end{array}\right.$，解得x₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，y₁=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴k=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此時直線l的方程為：y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x；
綜上所述，直線l的方程為：y=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$x或y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查求橢圓、直線的方程，注意解題方法的積累，屬于中檔題．