Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= x2+lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：當x＞1時， x2+lnx＜ x3 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意知函數(shù)的定義域為{x|x＞0}，

∵f′（x）=x+ ，∴f′（x）＞0，

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）

（2）證明：設(shè)g（x）= x3﹣ x2﹣lnx，

∴g′（x）=2x2﹣x﹣ ，

∵當x＞1時，g′（x）= ＞0，

∴g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，

∴g（x）＞g（1）= ＞0，

∴當x＞1時， x2+lnx＜ x3

【解析】（1）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，可得導(dǎo)數(shù)的正負，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）= x3﹣ x2﹣lnx，確定g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，即可證得結(jié)論．
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．