Question

16．對(duì)定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x）和g（x），如果對(duì)任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，那么稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上可被G（X）替代，D稱為“替代區(qū)間”．給出以下命題：
①f（x）=x²+1在區(qū)間（-∞，+∞）上可被g（x）=x²$+\frac{1}{2}$替代；
②f（x）=x可被g（x）=1-$\frac{1}{4x}$替代的一個(gè)“替代區(qū)間”為[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{2}$]；
③f（x）=lnx在區(qū)間[1，e]可被g（x）=x-b替代，則e-2≤b≤2；
④f（x）=lg（ax²+x）（x∈D₁），g（x）=sinx（x∈D₂），則存在實(shí)數(shù)a（a≠0），使得f（x）在區(qū)間D₁∩D₂ 上被g（x）替代；
其中真命題的有①②③．

Answer 1

分析 命題①直接由替代的定義得出為真命題；命題②|f（x）-g（x）|=$|x+\frac{1}{4x}-1|$，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)x+$\frac{1}{x}-1$在區(qū)間$[\frac{1}{4}，\frac{3}{2}]$上的最值，從而可說明|f（x）-g（x）|＜1，從而可判斷該命題正確；命題③，根據(jù)替代的定義，|f（x）-g（x）|≤1在[1，e]上恒成立，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)lnx-x+b在[1，e]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出函數(shù)lnx-x+b的值域，該值域應(yīng)為區(qū)間[-1，1]的子集，從而可得出b的取值范圍，從而判斷該命題的正誤；命題④可先找出一個(gè)D₁∩D₂區(qū)間，可以在此區(qū)間找到一個(gè)x使對(duì)任意a|f（x）-g（x）|＞1，從而便可判斷出該命題錯(cuò)誤，這樣便可最后找出所有的真命題．

解答 解：①∵|f（x）-g（x）|=$\frac{1}{2}$＜1；
f（x）可被g（x）替代；
∴該命題為真命題；
②|f（x）-g（x）|=$|x+\frac{1}{4x}-1|$；
設(shè)h（x）=$x+\frac{1}{4x}-1$，h′（x）=$\frac{4{x}^{2}-1}{4{x}^{2}}$；
∴$x∈[\frac{1}{4}，\frac{1}{2}）$時(shí)，h′（x）＜0，x∈（$\frac{1}{2}，\frac{3}{2}$]時(shí)，h′（x）＞0；
∴$h（\frac{1}{2}）=0$是h（x）的最小值，又h（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{4}$，h（$\frac{3}{2}$）=$\frac{2}{3}$；
∴|f（x）-g（x）|＜1；
∴f（x）可被g（x）替代的一個(gè)替代區(qū)間為[$\frac{1}{4}，\frac{3}{2}$]；
∴該命題是真命題；
③由題意知：|f（x）-g（x）|=|lnx-x+b|≤1在x∈[1，e]上恒成立；
設(shè)h（x）=lnx-x+b，則h′（x）=$\frac{1-x}{x}$；
∵x∈[1，e]；
∴h′（x）≤0；
∴h（x）在[1，e]上單調(diào)遞減；
h（1）=b-1，h（e）=1-e+b；
1-e+b≤h（x）≤b-1；
又-1≤h（x）≤1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-e+b≥-1}\\{b-1≤1}\end{array}\right.$；
∴e-2≤b≤2；
∴該命題為真命題；
④1）若a＞0，解ax²+x＞0得，x$＜-\frac{1}{a}$，或x＞0；
可取D₁=（0，+∞），D₂=R；
∴D₁∩D₂=（0，+∞）；
可取x=100，則對(duì)任意a，|f（x）-g（x）|＞1；
∴不存在實(shí)數(shù)a（a＞0），使得f（x）在區(qū)間D₁∩D₂ 上被g（x）替代；
2）若a＜0，解ax²+x＞0得，$0＜x＜-\frac{1}{a}$；
∴D₁=（0，$-\frac{1}{a}$），D₂=R；
∴D₁∩D₂=（0，$-\frac{1}{a}$）；
$0＜a{x}^{2}+x≤-\frac{1}{4a}$；
∴$f（x）≤lg（-\frac{1}{4a}）$，-1≤g（x）≤1；
∴不存在a，使得|f（x）-g（x）|≤1；
∴不存在實(shí)數(shù)a（a＜0），使得f（x）在區(qū)間D₁∩D₂ 上被g（x）替代；
綜上得，不存在實(shí)數(shù)a（a≠0），使得f（x）在區(qū)間D₁∩D₂ 上被g（x）替代；
∴該命題為假命題；
∴真命題的有：①②③．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 考查對(duì)替代定義的理解，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、求函數(shù)在閉區(qū)間上最值的方法，以及根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0求函數(shù)定義域的方法，解一元二次不等式，在說明f（x）不能被g（x）替代的舉反例即可．