Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-（a+1）x²+4ax+b，其中a，b∈R．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（-1，1）內(nèi)有且只有一個極值點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在（-1，1）上有且只有一個極值點，等價于f′（x）在（-1，1）上有且只有一個解；由（II）及零點存在定理可得$\left\{{\begin{array}{l}{a＜1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{f'（-1）f'（1）＜0}\end{array}}\right.$，從而可確定a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）因為f′（x）=x²-2（a+1）x+4a=（x-2a）（x-2），
令f′（x）=0，得x=2a或x=2．
當(dāng)a＞1時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，2），（2a，+∞）；
當(dāng)a=1時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）；
當(dāng)a＜1時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，2a），（2，+∞）．       
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=x²-2（a+1）x+4a，
∵f（x）在（-1，1）內(nèi)有且只有一個極值點，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a＜1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{f'（-1）f'（1）＜0}\end{array}}\right.$，
解得-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$．
所以a的取值范圍是$（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$．

點評 本題考查函數(shù)的極值和單調(diào)性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對于字母系數(shù)a的討論，注意討論的過程中做到不重不漏，屬于中檔題．