Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=1，{a_{n+1}}-2{a_n}={2^n}（n∈{N^*}）$，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n•2^n-1．

Answer 1

分析 把已知遞推式兩邊同時(shí)除以2ⁿ，得到數(shù)列數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出．

解答 解：∵滿足${a_1}=1，{a_{n+1}}-2{a_n}={2^n}（n∈{N^*}）$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=1，（n≥2，且n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1-1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=1+n-1=n，
∴a_n=n•2^n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1成立，
∴a_n=n•2^n-1，
故答案為：n•2^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，是中檔題．