Question

16．當(dāng)x∈[-1，2]時，不等式ax³-x²+2x-1＜0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-4）
• B． （-1，0）
• C． （-4，0）
• D． （-1，+∞）

Answer 1

分析 分x=0，0＜x≤2，-1≤x＜0三種情況進(jìn)行討論，分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值即可，利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)最值，注意最后要對a取交集．

解答 解：當(dāng)x=0時，不等式ax³-x²+2x-1＜0對任意a∈R恒成立；
當(dāng)0＜x≤2時，ax³-x²+2x-1＜0可化為a＜$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$，
令f（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$，
則f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{4}{{x}^{3}}$-$\frac{3}{{x}^{4}}$=$\frac{4x-3-{x}^{2}}{{x}^{4}}$=$\frac{-（x-3）（x-1）}{{x}^{4}}$，
當(dāng)0＜x≤1時，f′（x）＜0，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，
1＜x＜2時，f′（x）＞0，f（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，
f（x）_min=f（1）=0，∴a＜0；
當(dāng)-1≤x＜0時，ax³-x²+2x-1＜0可化為a＞$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$，
由f（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$，f′（x）=$\frac{-（x-3）（x-1）}{{x}^{4}}$，
當(dāng)-1≤x＜0時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
f（x）_max=f（-1）=-2，∴a＞-4．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是-4＜a＜0，
即實數(shù)a的取值范圍是（-4，0）．
故選：C．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，按照自變量討論，最后要對參數(shù)范圍取交集．若按照參數(shù)討論則取交集，是中檔題．