Question

【題目】設(shè)f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+ ）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f（ ）=0，a=1，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知，f（x）= sin2x﹣

= sin2x﹣

=sin2x﹣

由2k ≤2x≤2k ，k∈Z可解得：k ≤x≤k ，k∈Z；

由2k ≤2x≤2k ，k∈Z可解得：k ≤x≤k ，k∈Z；

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[k ，k ]，（k∈Z）；單調(diào)遞減區(qū)間是：[k ，k ]，（k∈Z）；

（2）解：由f（ ）=sinA﹣ =0，可得sinA= ，

由題意知A為銳角，所以cosA= ，

由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，

可得：1+ bc=b2+c2≥2bc，即bc ，且當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立．

因此S= bcsinA≤ ，

所以△ABC面積的最大值為

【解析】（1）由三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)解析式可得f（x）=sin2x﹣ ，由2k ≤2x≤2k ，k∈Z可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，由2k ≤2x≤2k ，k∈Z可解得單調(diào)遞減區(qū)間．（2）由f（ ）=sinA﹣ =0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc ，且當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立，從而可求 bcsinA≤ ，從而得解．