【題目】設(shè)f(logax)= ,(0<a<1)
(1)求f(x)的表達(dá)式,并判斷f(x)的奇偶性;
(2)判斷f(x)的單調(diào)性;
(3)對于f(x),當(dāng)x∈(﹣1,1)時,恒有f(1﹣m)+f(1﹣m2)<0,求m的取值范圍.

【答案】
(1)解:設(shè)logax=t,則x=at,

∴f(t)= = =

∴f(x)=

∴f(﹣x)= (ax﹣ax)=﹣f(x),

∴f(x)為奇函數(shù)


(2)解:函數(shù)為增函數(shù),

∵f(x)=

設(shè)x1<x2,f(x1)﹣f(x2)= )= + ),

∵0<a<1時,

∴a2﹣1<0, >1,

>0,+ >0,

∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),

∴f(x)在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞增


(3)解:∵f(1﹣m)+f(1﹣m2)<0,

∴f(1﹣m)<﹣f(1﹣m2)=f(m2﹣1),

∵f(x)在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞增;

解得,1<m

故m的取值范圍為(1,


【解析】(1)利用換元法,設(shè)logax=t,則x=at , 代入化簡即可,再利用奇偶性的定義證明即可,(2)函數(shù)為增函數(shù),利用定義證明即可,(3)利用函數(shù)為奇函數(shù)和增函數(shù),得到不等式組,解得即可.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的奇偶性和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,需要了解偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

)求的值域

)若對于內(nèi)的所有實數(shù),不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列{an}滿足 ,記數(shù)列{an}的前n項和為Sn , cn=Sn﹣2n+2ln(n+1)
(1)令 ,證明:對任意正整數(shù)n,|sin(bnθ)|≤bn|sinθ|
(2)證明數(shù)列{cn}是遞減數(shù)列.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)f(x)=sinxcosx﹣cos2(x+ ).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若f( )=0,a=1,求△ABC面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知條件p:A={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0,x∈R,m∈R},條件q:B={x|x2﹣2x﹣3≤0,x∈R}.
(1)若A∩B={x|0≤x≤3},求實數(shù)m的值;
(2)若q是¬p的充分條件,求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù) 是[1,∞]上的增函數(shù).當(dāng)實數(shù)m取最大值時,若存在點(diǎn)Q,使得過Q的直線與曲線y=g(x)圍成兩個封閉圖形,且這兩個封閉圖形的面積總相等,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(
A.(0,﹣3)
B.(0,3)
C.(0,﹣2)
D.(0,2)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知直線l1(a1)xyb0l2axby40,求滿足下列條件的ab的值.

(1)l1l2,l1過點(diǎn)(1,1);

(2)l1l2,l2在第一象限內(nèi)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時,.

(1)直接寫出函數(shù)的增區(qū)間(不需要證明);

(2)求出函數(shù)的解析式;

(3)若函數(shù),,求函數(shù)的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)y=f″(x)是y=f′(x)的導(dǎo)數(shù).某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn),任意一個三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有對稱中心(x0 , f(x0)),其中x0滿足f″(x0)=0.已知f(x)= x3 x2+3x﹣ ,則f( )+f( )+f( )+…+f( )=(
A.2013
B.2014
C.2015
D.2016

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案