Question

2．設(shè)全集為U=R，集合A={x|（x+3）（4-x）≤0}，B={x|log₂（x+2）＜3}．
（1）求A∩∁_UB；
（2）已知C={x|2a＜x＜a+1}，若C⊆A∪B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題目所給的條件，可以分別解出集合A與集合B，由補(bǔ)集的知識(shí)，可得∁_UB，即可求得A∩∁_UB；
（2）求出A∪B，通過(guò)分類討論，對(duì)a進(jìn)行分類，可以確定C是否為空集，進(jìn)而可以討論的a的取值范圍．

解答 解：（1）集合A={x|（x+3）（4-x）≤0}={x|x≤-3或x≥4}，…．（2分）
對(duì)于集合B={x|log₂（x+2）＜3}．，有x+2＞0且x+2＜8，即-2＜x＜6，…．（4分）
即B=（-2，6），∴C_UB=（-∞，-2]∪[6，+∞），
所以A∩∁_UB=（-∞，-3]∪[6，+∞）．…（6分）
（2）因?yàn)锳∪B=（-∞，-3]∪[-2，+∞）．…（7分）
①當(dāng)2a≥a+!，即a≥1時(shí)，C=∅，滿足題意．…（9分）
②當(dāng)2a＜a+1，即a＜1時(shí)，有a+1≤-3或2a≥-2，
即a≤-4或-1≤a＜1．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-4]∪[-1，+∞）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查集合的基本運(yùn)算以及集合關(guān)系的應(yīng)用，考查集合的交并補(bǔ)的運(yùn)算及運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．