Question

6．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，{S_n-（n+1）²a_n}為常數(shù)列，則a_n=$\frac{6}{（n+1）（n+2）}$．

Answer 1

分析 根據(jù){S_n-（n+1）²a_n}為常數(shù)列的性質(zhì)：連續(xù)兩項的差為零列出式子，利用當(dāng)n≥2時a_n=S_n -S_n-1化簡，得到數(shù)列{a_n}的遞推公式，利用累積法和a₁=1求出a_n．

解答 解：∵{S_n-（n+1）²a_n}為常數(shù)列，
∴當(dāng)n≥2時，[S_n-（n+1）²a_n]-[S_n-1-（n-1+1）²a_n-1]=0，
∴a_n-（n+1）²a_n+n²a_n-1=0，
∴n²a_n-1=n（n+2）a_n，則$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{n+2}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{2}{4}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{3}{5}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{4}{6}$，…，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=\frac{n-1}{n+1}$，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{n+2}$，
以上n-1個式子相乘得，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\frac{2×3}{（n+1）（n+2）}$，
又a₁=1，則a_n=$\frac{6}{（n+1）（n+2）}$，
故答案為：$\frac{6}{（n+1）（n+2）}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推公式的化簡，當(dāng)n≥2時a_n=S_n -S_n-1，常數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，以及累積法求數(shù)列的通項公式，考查化簡、變形能力．