Question

9．設(shè)銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，且有2asinB-$\sqrt{3}$•b=0．
（1）求角A的大��；
（2）若b+c=4，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，根據(jù)sinB不為0求出sinA的值，再由A為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)．
（2）因?yàn)閎+c=4，利用基本不等式，可求得bc≤4，從而可求△ABC的面積的最大值．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式得：2sinAsinB=$\sqrt{3}$sinB，
∵sinB≠0，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A為銳角，
∴A=60°．  …（7分）
（2）由基本不等式得，∵b+c=4≥2$\sqrt{bc}$，（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2，不等式等號(hào)成立）．
∴bc≤4，…（10分）
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面積的最大值為$\sqrt{3}$．  …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是解三角形，主要考查正弦定理的應(yīng)用，考查三角形的面積公式，基本不等式的運(yùn)用，知識(shí)點(diǎn)多，計(jì)算需要細(xì)心，屬于基礎(chǔ)題．