Question

19．在四棱錐P-ABCD中（如圖），底面ABCD是直角梯形，M為PC中點，且AB∥DC，又∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（Ⅰ）求證：CD∥平面MAB；
（Ⅱ）求三棱錐M-PAD的體；
（Ⅲ）若點K線段PA上，試判斷平面KBC和平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；（Ⅱ）根據(jù)棱錐的體積公式計算即可；（Ⅲ）先求出BC⊥AC，再求出BC⊥平面PAC，從而得到平面PAC⊥平面KBC．

解答 （Ⅰ）證明：因為AB∥CD，
又AB?平面MAB，CD?平面MAB，
∴CD∥平面MAB；
（Ⅱ）解：∵M(jìn)是PC中點，
∴M到面ADP的距離是C到面ADP距離的一半，
∴${V_{M-ACD}}=\frac{1}{3}{S_{△APD}}•（\frac{1}{2}CD）=\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×1×1）×\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$；
（Ⅲ）平面PAC⊥平面KBC，
證明：如圖示：
在直角梯形ABCD中，過C作CE⊥AB于點E，
則四邊形ADCE為矩形，∴AE=DC=1，又AB=2，∴BE=1，
在Rt△BEC中，∠ABC=45°，
∴$CE=BE=1，CB=\sqrt{2}$，∴AD=CE=1，
則$AC=\sqrt{A{D^2}+C{D^2}}=\sqrt{2}$，AC²+BC²=AB²，
∴BC⊥AC，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，而PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
又因為BC?平面KBC，所以平面PAC⊥平面KBC．

點評 本題考察了線面平行的判定定理，線面、面面垂直的判定定理，考察棱錐的體積，是一道中檔題．