Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和記為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）等差數(shù)列{b_n}的各項為正，其前n項和為T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，求T_n．
（Ⅲ）設(shè)c∈[3，6]，在（2）的條件下，設(shè)g（n）=T_n-cn，求g（n）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用數(shù)列的通項和求和的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式，即可得到{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè){b_n}的公差為d，運用等差數(shù)列的通項和等比數(shù)列的性質(zhì)，解方程可得d=2，再由等差數(shù)列的求和公式，即可得到所求；
（Ⅲ）運用二次函數(shù)的對稱軸和c∈[3，6]，對c討論，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，即可得到所求最小值．

解答 解：（Ⅰ）由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），
兩式相減得a_n+1-a_n=2a_n，a_n+1=3a_n（n≥2）
又a₂=2S₁+1=3，∴a₂=3a₁
故{a_n}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列．
∴${a_n}={3^{n-1}}$；
（Ⅱ）設(shè){b_n}的公差為d，
由T₃=15得，可得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5，
故可設(shè)b₁=5-d，b₃=5+d，
又a₁=1，a₂=3，a₃=9，
由題意可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²
解得d₁=2，d₂=-10，
∵等差數(shù)列{b_n}的各項為正，∴d＞0，
∴d=2，b₁=3，
∴${T_n}=3n+\frac{{n（{n-1}）}}{2}×2={n^2}+2n$；
（Ⅲ）由已知得：g（n）=n²+2n-cn，對稱軸$x=\frac{c-2}{2}$，
c∈[3，6]，∴$\frac{c-2}{2}∈[{\frac{1}{2}，2}]$，
①若c∈[3，5），則$\frac{c-2}{2}＜\frac{3}{2}$，此時g（n）最小值為g（1）=3-c；
②若c=5，此時g（n）最小值為g（1）=g（2）=-2；
③若c∈（5，6]，此時g（n）最小值為g（2）=8-2c．

點評 本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項和求和公式的運用，同時考查數(shù)列的通項和求和的關(guān)系，以及數(shù)列的單調(diào)性的運用：求最值，屬于中檔題．