Question

17．如果直角三角形周長為2，則它的最大面積為$3-2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設直角三角形的兩直角邊為a、b，利用勾股定理求出斜邊c的表達式，由周長和基本不等式求出ab的范圍，根據三角形的面積即可求出直角三角形面積的最大值．

解答 解：設直角三角形的兩直角邊分別為a、b，則斜邊c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
由已知得a+b+c=2，∴a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2，
∵a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2}$$\sqrt{ab}$（當且僅當a=b時取等號），
∴2≥（2+$\sqrt{2}$）$\sqrt{ab}$，解得$\sqrt{ab}$≤$\frac{2}{2+\sqrt{2}}$=2-$\sqrt{2}$，
則ab≤6-4$\sqrt{2}$，
∴直角三角形的面積S=$\frac{1}{2}ab$≤$3-2\sqrt{2}$，
∴直角三角形面積的最大值是$3-2\sqrt{2}$，
故答案為：$3-2\sqrt{2}$．

點評 本題考查了基本不等式的實際應用，列出有關量的函數關系式或方程式是解題關鍵，注意基本不等式的三個條件，屬于基礎題．