Question

10．已知A是曲線ρ=4cosφ上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)A到直線$ρcos（θ-\frac{π}{3}）=4$距離的最大值和最小值．

Answer 1

分析 利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：圓心C（2，0）到直線的距離d，即可得出點(diǎn)A到直線$ρcos（θ-\frac{π}{3}）=4$距離的最大值為d+r；最小值為d-r．

解答 解：∵ρ=4cosφ，ρ²=4ρcosφ，
從而x²+y²=4x，
即（x-2）²+y²=4，
又∵$ρcos（θ-\frac{π}{3}）=4$，
∴$ρcosθcos\frac{π}{3}+ρsinθsin\frac{π}{3}=4$，
∴$x+\sqrt{3}y-8=0$，
又∵d=3＞2，
∴直線與圓相離．
圓心C（2，0）到直線的距離d=$\frac{|2+0-8|}{2}$=3，
∴點(diǎn)A到直線$ρcos（θ-\frac{π}{3}）=4$距離的最大值為d+r=3+2=5；
最小值為d-r=3-2=1．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．