Question

10．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2，x∈[0，1]}\\{2-{x}^{2}，x∈（-1，0）}\end{array}\right.$，f（x+1）=f（x-1），則方程f（x）=$\frac{2x+1}{x}$在區(qū)間[-3，3]上的所有實(shí)根之和為（　�。�

• A． -2
• B． -1
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 由題意函數(shù)f（x）與函數(shù)y=$\frac{2x+1}{x}$在區(qū)間[-3，3]上的圖象，結(jié)合圖象求解即可．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1），
∴f（x）是周期為2的周期函數(shù)；
又∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2，x∈[0，1]}\\{2-{x}^{2}，x∈（-1，0）}\end{array}\right.$，
作函數(shù)f（x）與函數(shù)y=$\frac{2x+1}{x}$在區(qū)間[-3，3]上的圖象如下，

結(jié)合圖象可知，
其共有3個(gè)實(shí)根，其中有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，第三個(gè)為1；
故其實(shí)根之和為1；
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)與周期函數(shù)的圖象及性質(zhì)，同時(shí)考查了方程的根與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．