Question

7．若關于x的方程f（x）=x有實數解x₀，則稱x₀是函數f（x）的“不動點”：已知函數f（x）=x²+ax+1在（0，+∞）上沒有不動點，則實數a取值范圍是（-1，+∞）．

Answer 1

分析 首先，根據題意，得到方程x²+ax+1=x在（0，+∞）上沒有實根，然后，分情況進行討論完成．

解答 解：∵函數f（x）=x²+ax+1在（0，+∞）上沒有不動點，
∴方程x²+ax+1=x在（0，+∞）上沒有實根，
即：x²+（a-1）x+1=0，
①當方程無實根時，
此時△=（a-1）²-4＜0，
∴-1＜a＜3，
②當方程有兩個相等的非正實根時，
△=（a-1）²-4=0，且$-\frac{a-1}{2}＜0$，
此時a=3，
③當方程有兩個不等的負實根時，
滿足$\left\{\begin{array}{l}{△=（a-1）^{2}-1＞0}\\{1-a＜0}\end{array}\right.$，
解得a＞3，
∴a∈（-1，+∞）．
故答案為：（-1，+∞）．

點評 本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征、函數與方程的綜合運用．解答該題時，借用了一元二次方程的根的判別式與根這一知識點．