Question

已知橢圓：的短軸長為，且斜率為的直線過橢圓的焦點及點．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線過橢圓的左焦點，交橢圓于點P、Q.

（�。┤魸M足（為坐標原點），求的面積；

（ⅱ）若直線與兩坐標軸都不垂直，點在軸上，且使為的一條角平分線，則稱點為橢圓的“特征點”，求橢圓的特征點．

 

Answer 1

（1）；（2）（�。�2，（ⅱ）

【解析】

試題分析：（1）由短軸長得，由焦點和點可算出斜率為，可以得到焦點坐標，所以可以得橢圓的方程。（2）（�。┯上蛄康臄�(shù)量積公式及三角形面積公式可得出結(jié)果。（ⅱ）設(shè)直線的方程，但是不需要求的方程，通過與橢圓聯(lián)立方程組進行求解。

試題解析：（1）由題意可知，直線的方程為， 1分

∵直線過橢圓的焦點，∴該焦點坐標為∴ 2分

又橢圓的短軸長為，∴，∴ 3分

∴橢圓的方程為 4分

（2）（�。�∵

∴ 6分

∴ 8分

（ⅱ）設(shè)特征點，左焦點為，可設(shè)直線PQ的方程為，

由消去得

設(shè)，則

10分

∵為的一條角平分線，

∴，即 12分

又，，代入上式可得

∴，解得

∴橢圓C的特征點為． 14分

考點：圓錐曲線與其他知識的綜合