Question

已知橢圓：的短軸長(zhǎng)為，且斜率為的直線(xiàn)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)及點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線(xiàn)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)P、Q.

（�。┤魸M(mǎn)足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的面積；

（ⅱ）若直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸都不垂直，點(diǎn)在軸上，且使為的一條角平分線(xiàn)，則稱(chēng)點(diǎn)為橢圓的“特征點(diǎn)”，求橢圓的特征點(diǎn)．

 

Answer 1

（1）；（2）（ⅰ）2，（ⅱ）

【解析】

試題分析：（1）由短軸長(zhǎng)得，由焦點(diǎn)和點(diǎn)可算出斜率為，可以得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，所以可以得橢圓的方程。（2）（�。┯上蛄康臄�(shù)量積公式及三角形面積公式可得出結(jié)果。（ⅱ）設(shè)直線(xiàn)的方程，但是不需要求的方程，通過(guò)與橢圓聯(lián)立方程組進(jìn)行求解。

試題解析：（1）由題意可知，直線(xiàn)的方程為， 1分

∵直線(xiàn)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為∴ 2分

又橢圓的短軸長(zhǎng)為，∴，∴ 3分

∴橢圓的方程為 4分

（2）（�。�∵

∴ 6分

∴ 8分

（ⅱ）設(shè)特征點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，可設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為，

由消去得

設(shè)，則

10分

∵為的一條角平分線(xiàn)，

∴，即 12分

又，，代入上式可得

∴，解得

∴橢圓C的特征點(diǎn)為． 14分

考點(diǎn)：圓錐曲線(xiàn)與其他知識(shí)的綜合