Question

1．已知動點P與點A（-$\sqrt{3}$，0）和點B（$\sqrt{3}$，0）連接的斜率之積為-$\frac{2}{3}$，點P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）Q為曲線C上位于x軸上方的動點，直線AQ、BQ分別交直線y=$\sqrt{3}$于點M，N，求△QMN面積的最小值；
（3）若直線l：mx+y+1=0與曲線C交于D、F兩點，是否存在實數(shù)m，使|$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OF}$|=|$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OF}$|成立？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設P（x，y），則k_PA•k_PB=$\frac{{y}^{2}}{（x+\sqrt{3}）（x-\sqrt{3}）}$=-$\frac{2}{3}$，化簡即可得出．
（2）設Q（x₀，y₀）（y₀＞0），則$2{x}_{0}^{2}+3{y}_{0}^{2}$=6，直線AQ的方程為：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{3}}$$（x+\sqrt{3}）$，令y=$\sqrt{3}$，可得M坐標．同理可得N坐標．可得S_△QMN=$\frac{1}{2}$$（\sqrt{3}-{y}_{0}）$•|MN|．利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可得出△QMN的最小值．
（3）假設存在實數(shù)m，使|$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OF}$|=|$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OF}$|成立．把y=-mx-1代入橢圓方程可得：（2+3m²）x²+6mx-3=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．若使|$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OF}$|=|$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OF}$|成立，平方可得：$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OF}$=0，則x₁x₂+y₁y₂=0，把根與系數(shù)的關系代入化簡整理即可得出結論．

解答 解：（1）設P（x，y），則k_PA•k_PB=$\frac{{y}^{2}}{（x+\sqrt{3}）（x-\sqrt{3}）}$=-$\frac{2}{3}$，化為：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
∴點P的軌跡方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，$（x≠±\sqrt{3}）$．
（2）設Q（x₀，y₀）（y₀＞0），則$2{x}_{0}^{2}+3{y}_{0}^{2}$=6，直線AQ的方程為：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{3}}$$（x+\sqrt{3}）$，
令y=$\sqrt{3}$，可得M$（\frac{\sqrt{3}{x}_{0}-\sqrt{3}{y}_{0}+3}{{y}_{0}}，\sqrt{3}）$．
直線BQ的方程為：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-\sqrt{3}}$$（x-\sqrt{3}）$，令y=$\sqrt{3}$，可得N$（\frac{\sqrt{3}{x}_{0}+\sqrt{3}{y}_{0}-3}{{y}_{0}}，\sqrt{3}）$．
|MN|=$|\frac{\sqrt{3}{x}_{0}-\sqrt{3}{y}_{0}+3}{{y}_{0}}$-$\frac{\sqrt{3}{x}_{0}+\sqrt{3}{y}_{0}-3}{{y}_{0}}|$=$\frac{|-2\sqrt{3}{y}_{0}+6|}{|{y}_{0}|}$=$\frac{-2\sqrt{3}{y}_{0}+6}{{y}_{0}}$．
∴S_△QMN=$\frac{1}{2}$$（\sqrt{3}-{y}_{0}）$•$\frac{-2\sqrt{3}{y}_{0}+6}{{y}_{0}}$=$\sqrt{3}$$（{y}_{0}+\frac{3}{{y}_{0}}-2\sqrt{3}）$．
令f（y₀）=$\sqrt{3}$$（{y}_{0}+\frac{3}{{y}_{0}}-2\sqrt{3}）$，y₀∈$（0，\sqrt{2}]$．f′（y₀）=$\sqrt{3}$$（1-\frac{3}{{y}_{0}^{2}}）$＜0，
∴f（y₀）在$（0，\sqrt{2}]$上單調(diào)遞減，
∴f（y₀）_min=f（$\sqrt{2}$）=$\frac{5\sqrt{6}}{2}$-6．即y₀=$\sqrt{2}$時，△QMN的最小值為：$\frac{5\sqrt{6}}{2}$-6．
（3）假設存在實數(shù)m，使|$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OF}$|=|$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OF}$|成立．
把y=-mx-1代入橢圓方程可得：（2+3m²）x²+6mx-3=0，
由于直線l恒過橢圓內(nèi)定點（0，-1），∴△＞0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則x₁+x₂=-$\frac{6m}{2+3{m}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{-3}{2+3{m}^{2}}$，
若使|$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OF}$|=|$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OF}$|成立，平方可得：$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OF}$=0，則x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（-mx₁-1）（-mx₂-1）=0，化為：（1+m²）x₁x₂+m（x₁+x₂）+1=0，
∴（1+m²）•$\frac{-3}{2+3{m}^{2}}$-m$\frac{6m}{2+3{m}^{2}}$+1=0，化為：m²=$-\frac{1}{6}$，矛盾，因此假設不成立．
因此存在實數(shù)m，使|$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OF}$|=|$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OF}$|成立．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉化為一元二次方程的根與系數(shù)的關系、向量垂直與數(shù)量積的關系、斜率計算公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．