Question

6．設f（x）=$\frac{ex}{1+a{x}^{2}}$，其中a為正實數(shù)．
（1）當a=$\frac{16}{15}$時，求f（x）的極值點；
（2）若f（x）為R上的單調函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過導數(shù)為0，判斷函數(shù)的單調性，求解函數(shù)的極值點．
（2）通過導數(shù)符號不變號，轉化為二次函數(shù)的判別式恒成立問題，求解即可．

解答 解：（1）對f（x）求導得f′（x）=e^x•$\frac{1+a{x}^{2}-2ax}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$．
當a=$\frac{16}{15}$時，若f′（x）=0，解得x=$\frac{3}{4}$或$\frac{5}{4}$．又當x變化時，f′（x）和f（x）的變化情況如下

x	（-∞，$\frac{3}{4}$）	$\frac{3}{4}$	（$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{4}$）	$\frac{5}{4}$	（$\frac{5}{4}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	Γ	極大值	Φ	極小值	Γ

∴x₁=$\frac{5}{4}$是極小值點，x₂=$\frac{3}{4}$是極大值點．
（2）若f（x）為R上的單調函數(shù)，則f′（x）在R上不變號．
結合（1）與條件a＞0，知ax²-2ax+1≥0在R上恒成立，
由△=4a²-4a=4a（a-1）≤0，得0＜a≤1．即實數(shù)a的取值范圍是（0，1]．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的最值，以及函數(shù)的單調性，函數(shù)恒成立的應用，考查計算能力．