Question

5．把一正方體沿對(duì)角面劈開，得一如圖幾何體，其中B₁C₁=A₁C₁=2，M為A₁B₁的中點(diǎn)，試作出過B₁且與平面AMC₁平行的截面，并計(jì)算該截面面積．

Answer 1

分析 取AB的中點(diǎn)N，連接B₁N，CN，利用正方體的性質(zhì)與平行四邊形的性質(zhì)可得：B₁N∥AM，因此B₁N∥平面AMC₁．進(jìn)而得到CN∥平面AMC₁，平面B₁CN∥平面AMC₁．因此過B₁且與平面AMC₁平行的截面即為平面B₁CN．利用勾股定理的逆定理與直角三角形的面積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：取AB的中點(diǎn)N，連接B₁N，CN，
∵四邊形ANB₁M是平行四邊形，∴B₁N∥AM，又B₁N?平面AMC₁，
AM?平面AMC₁，
∴B₁N∥平面AMC₁．
同理可得：CN∥平面AMC₁，
又B₁N∩CN=N，
∴平面B₁CN∥平面AMC₁．
因此過B₁且與平面AMC₁平行的截面即為平面B₁CN．
B₁C=2$\sqrt{2}$，B₁N=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$．
NC=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}-2×2\sqrt{2}×cos4{5}^{°}}$=$\sqrt{2}$．
∵$N{C}^{2}+{B}_{1}{N}^{2}$=${B}_{1}{C}^{2}$，
∴B₁N⊥NC，
∴截面△B₁CN的面積為S=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{2}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方體的性質(zhì)與平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理與逆定理、線面、面面平行的判定與性質(zhì)定理，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．