Question

16．在△ABC中，a、b、c分別為A、B、C的對邊，A＜B＜C＜90°，B=60°，且$\sqrt{（1+cos2A）（1+cos2C）}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
（1）求角A；
（2）若△ABC的外接圓半徑為2，求△ABC面積．

Answer 1

分析 （1）已知等式左邊被開方數(shù)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，再利用二次根式的性質(zhì)變形，把A+C的度數(shù)代入求出cos（A-C）的值，確定出A-C的度數(shù)，即可求出A的度數(shù)；
（2）根據(jù)（1）確定出A，B，C的度數(shù)，連接AO并延長，與圓交于點M，連接MC，過A作AN⊥BC，在直角三角形ACM中，求出AC的長，進(jìn)而求出AN，BN，NC的長，即可確定出三角形ABC面積．

解答 解：（1）∵1+cos2A=2cos²A，1+cos2C=2cos²C，且cosA＞0，cosC＞0，
∴$\sqrt{（1+cos2A）（1+cos2C）}$=2cosAcosC=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
即cos（A+C）+cos（C-A）=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∵B=60°，∴A+C=120°①，即cos（A+C）=cos120°=-$\frac{1}{2}$，
∴cos（C-A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即C-A=30°②，
聯(lián)立①②解得：A=45°；
（2）由（1）得：A=45°，B=60°，C=75°，
連接AO并延長，與圓交于點M，連接MC，過A作AN⊥BC，
∴B=M=60°，
在Rt△AMC中，AM=4，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∴AN=NC=$\sqrt{6}$，BN=$\sqrt{2}$，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）×$\sqrt{6}$=$\sqrt{3}$+3．

點評 此題考查了余弦定理，三角形面積公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．