Question

4．設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足a₁=3，（2-a_n）•a_n+1=1，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=$\frac{2n-5}{2n-3}$．

Answer 1

分析 通過(guò)寫(xiě)出前幾項(xiàng)猜測(cè)通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：∵a₁=3，（2-a_n）•a_n+1=1，
∴a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$，
∴a₂=$\frac{1}{2-3}$=-1，a₃=$\frac{1}{2-（-1）}$=$\frac{1}{3}$，a₄=$\frac{1}{2-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{5}$，
…
猜想：數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{2n-5}{2n-3}$．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，有a_k=$\frac{2k-5}{2k-3}$，
∵（2-a_n）•a_n+1=1，
∴a_k+1=$\frac{1}{2-{a}_{k}}$=$\frac{1}{2-\frac{2k-5}{2k-3}}$=$\frac{1}{\frac{2k-1}{2k-3}}$=$\frac{2k-3}{2k-1}$=$\frac{2（k+1）-5}{2（k+1）-3}$，
即當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{2n-5}{2n-3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)學(xué)歸納法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．