Question

3．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P是橢圓上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，若恰好有4個(gè)不同的點(diǎn)P，使得△PF₁F₂為等腰三角形，且有一個(gè)角為鈍角，則橢圓的離心率的取值范圍是（$\frac{1}{3}$，$\sqrt{2}-1$）．

Answer 1

分析 通過(guò)題意可知等腰三角形△F₁F₂P以F₁F₂為一腰，結(jié)合以橢圓焦點(diǎn)為圓心半徑為2c的圓與橢圓位置關(guān)系的判斷，建立關(guān)于a、c的不等式，解之即可得到橢圓C的離心率的取值范圍．

解答 解：根據(jù)題意可知等腰三角形△PF₁F₂中的鈍角只能是頂角，
又∵P是橢圓上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，
∴只能是PF₁或PF₂為等腰三角形的底邊，
下面只考慮以F₁P作為等腰三角形的底邊這種情況，
由對(duì)稱性可知另一種情況，此時(shí)F₁F₂=F₂P，
∴點(diǎn)P在以F₂為圓心，半徑為焦距2c的圓上，
∴當(dāng)以F₂為圓心，半徑為2c的圓與橢圓C有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
存在2個(gè)滿足條件的等腰△F₁F₂P，
此時(shí)2a-2c＜2c+2c，解得a＜3c，
所以離心率e＞$\frac{1}{3}$，
又∠F₁F₂P為鈍角，∴$|{F}_{1}P{|}^{2}$＞$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$+$|{F}_{2}P{|}^{2}$，
∴（2a-2c）²＞（2c）²×2，即e＜$\sqrt{2}-1$．
這樣，總共有4個(gè)不同的點(diǎn)P滿足題意，
綜上所述，離心率的取值范圍是：e∈（$\frac{1}{3}$，$\sqrt{2}-1$），
故答案為：（$\frac{1}{3}$，$\sqrt{2}-1$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的基本性質(zhì)，考查求橢圓離心率e的取值范圍，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．