Question

1．已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1，
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時，求函數(shù)g（x）=f（x）-2x的值域．

Answer 1

分析 （1）要求二次函數(shù)的解析式，利用直接設(shè)解析式的方法，一定要注意二次項系數(shù)不等于零，在解答的過程中使用系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，解方程組求的結(jié)果；
（2）求得二次函數(shù)g（x）的解析式，求得對稱軸，可得[-1，]為減區(qū)間，即可得到最值，進(jìn)而得到值域．

解答 解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為f（x）=ax²+bx+c （a≠0），
由f（0）=1得c=1，
故f（x）=ax²+bx+1．
因為f（x+1）-f（x）=2x，
所以a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x．
即2ax+a+b=2x，
根據(jù)系數(shù)對應(yīng)相等$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
所以f（x）=x²-x+1；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時，函數(shù)g（x）=f（x）-2x=x²-3x+1
=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，
對稱軸為x=$\frac{3}{2}$，區(qū)間[-1，1]在對稱軸的左邊，為減區(qū)間，
即有x=-1時取得最大值，且為5，x=1時取得最小值，且為-1．
故值域為[-1，5]．

點評 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，注意運用待定系數(shù)法，考查二次函數(shù)的值域的求法，注意運用函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．