7．已知$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中$\overrightarrow a=（1\;，\;2）$，$\overrightarrow b=（-2\;，\;3）$，$\overrightarrow c=（-2\;，\;m）$
（1）若$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow b+\overrightarrow c）$，求m的值；
（2）若$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$2\overrightarrow a-\overrightarrow b$共線，求k的值．

分析 （1）利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出；
（2）利用向量共線定理即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow b+\overrightarrow c=（-4，3+m）$，（2分）
$\overrightarrow a=（1，2）$，
∵$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow b+\overrightarrow c）$，
∴$\overrightarrow a•（\overrightarrow b+\overrightarrow c）=-4+2（3+m）=0$，（4分）
解得m=-1．（15分）
（2）由已知：$k\overrightarrow a+\overrightarrow b=（k-2，2k+3）$，$2\overrightarrow a-\overrightarrow b=（4，1）$，（6分）
∵$（k\overrightarrow a+\overrightarrow b）∥（k\overrightarrow a+\overrightarrow b）$，
∴：k-2=4（2k+3），（9分）
∴k=-2．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

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19．設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ≤π）在$x=\frac{π}{6}$處取得最大值2，其圖象與x軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)$g（x）=\frac{{6{{cos}^4}x-{{sin}^2}x-1}}{{{{[{f（{\frac{x}{2}+\frac{π}{6}}）}]}^2}-2}}$的值域．

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16．隨著環(huán)保理念的深入，用建筑鋼材余料創(chuàng)作城市雕塑逐漸流行．如圖是其中一個(gè)抽象派雕塑的設(shè)計(jì)圖．圖中α表示水平地面，線段AB表示的鋼管固定在α上；為了美感，需在焊接時(shí)保證：線段AC表示的鋼管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD與AC異面．

（1）若收集到的余料長(zhǎng)度如下：AC=BD=24（單位長(zhǎng)度），AB=7，CD=25，按現(xiàn)在手中的材料，求BD與α應(yīng)成的角；
（2）設(shè)計(jì)師想在AB，CD中點(diǎn)M，N處再焊接一根連接管，然后掛一個(gè)與AC，BD同時(shí)平行的平面板裝飾物．但他擔(dān)心此設(shè)計(jì)不一定能實(shí)現(xiàn)．請(qǐng)你替他打消疑慮：無(wú)論AB，CD多長(zhǎng)，焊接角度怎樣，一定存在一個(gè)過(guò)MN的平面與AC，BD同時(shí)平行（即證明向量$\overrightarrow{MN}$與$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$共面，寫(xiě)出證明過(guò)程）；
（3）如果事先能收集確定的材料只有AC=BD=24，請(qǐng)?zhí)嬖O(shè)計(jì)師打消另一個(gè)疑慮：即MN要準(zhǔn)備多長(zhǎng)不用視AB，CD長(zhǎng)度而定，只與θ有關(guān)（θ為設(shè)計(jì)的BD與α所成的角），寫(xiě)出MN與θ的關(guān)系式，并幫他算出無(wú)論如何設(shè)計(jì)MN都一定夠用的長(zhǎng)度．

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