Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ≤π）在$x=\frac{π}{6}$處取得最大值2，其圖象與x軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)$g（x）=\frac{{6{{cos}^4}x-{{sin}^2}x-1}}{{{{[{f（{\frac{x}{2}+\frac{π}{6}}）}]}^2}-2}}$的值域．

Answer 1

分析 （1）先確定函數(shù)的周期，可得ω的值，利用函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）在x=$\frac{π}{6}$處取得最大值2，即可求得f（x）的解析式；
（2）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得g（x）=$\frac{3}{2}{cos^2}x+1$，$（{{{cos}^2}x≠\frac{1}{2}}）$，由${cos^2}x∈[{0，\frac{1}{2}}）∪（{\frac{1}{2}，1}]$，即可求得函數(shù)g（x）的值域．

解答 解：（1）由題意可得：f（x）_max=A=2，$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}⇒T=π$，
于是$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}=2$，
故f（x）=2sin（2x+φ），
由f（x）在$x=\frac{π}{6}$處取得最大值2可得：$2×\frac{π}{6}+φ=2kπ+\frac{π}{2}⇒φ=2kπ+\frac{π}{6}$（k∈Z），
又-π＜φ＜π，故$φ=\frac{π}{6}$，
因此f（x）的解析式為$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$．
（2）由（1）可得：$f（{\frac{x}{2}+\frac{π}{6}}）=2sin[{2（{\frac{x}{2}+\frac{π}{6}}）+\frac{π}{6}}]=2sin（{x+\frac{π}{2}}）=2cosx$，
故$g（x）=\frac{{6{{cos}^4}x-（{1-{{cos}^2}x}）-1}}{{{{（{2cosx}）}^2}-2}}$
=$\frac{{6{{cos}^4}x+{{cos}^2}x-2}}{{4{{cos}^2}x-2}}$
=$\frac{{（{3{{cos}^2}x+2}）（{2{{cos}^2}x-1}）}}{{2（{2{{cos}^2}x-1}）}}$
=$\frac{{3{{cos}^2}x+2}}{2}$
=$\frac{3}{2}{cos^2}x+1$，$（{{{cos}^2}x≠\frac{1}{2}}）$，
令t=cos²x，可知0≤t≤1且$t≠\frac{1}{2}$，
即${cos^2}x∈[{0，\frac{1}{2}}）∪（{\frac{1}{2}，1}]$，
從而$g（x）∈[{1，\frac{7}{4}}）∪（{\frac{7}{4}，\frac{5}{2}}]$，
因此，函數(shù)g（x）的值域?yàn)?[{1，\frac{7}{4}}）∪（{\frac{7}{4}，\frac{5}{2}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，考查了轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，正確求函數(shù)的解析式是關(guān)鍵，屬于中檔題．