Question

16．隨著環(huán)保理念的深入，用建筑鋼材余料創(chuàng)作城市雕塑逐漸流行．如圖是其中一個抽象派雕塑的設(shè)計圖．圖中α表示水平地面，線段AB表示的鋼管固定在α上；為了美感，需在焊接時保證：線段AC表示的鋼管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD與AC異面．

（1）若收集到的余料長度如下：AC=BD=24（單位長度），AB=7，CD=25，按現(xiàn)在手中的材料，求BD與α應(yīng)成的角；
（2）設(shè)計師想在AB，CD中點M，N處再焊接一根連接管，然后掛一個與AC，BD同時平行的平面板裝飾物．但他擔心此設(shè)計不一定能實現(xiàn)．請你替他打消疑慮：無論AB，CD多長，焊接角度怎樣，一定存在一個過MN的平面與AC，BD同時平行（即證明向量$\overrightarrow{MN}$與$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$共面，寫出證明過程）；
（3）如果事先能收集確定的材料只有AC=BD=24，請?zhí)嬖O(shè)計師打消另一個疑慮：即MN要準備多長不用視AB，CD長度而定，只與θ有關(guān)（θ為設(shè)計的BD與α所成的角），寫出MN與θ的關(guān)系式，并幫他算出無論如何設(shè)計MN都一定夠用的長度．

Answer 1

分析 （1）作出BD在α內(nèi)的射影，根據(jù)勾股定理求出D到平面α的距離，即可求出線面角的大��；
（2）使用$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BD}$表示出$\overrightarrow{MN}$，即可證明$\overrightarrow{MN}$與$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$共面；
（3）對（2）中的結(jié)論兩邊平方，得出MN的長度表達式，根據(jù)θ的范圍求出MN的最大值．

解答 解：（1）設(shè)D在α上的射影為H，∵AC⊥α，DH⊥α，∴AC∥DH，∴AC，DH共面，
∴過D作DK⊥AC于K，則AHDK為矩形，∴DK=AH．
設(shè)DH=h，則（AC-h）²+AH²=CD²，①
∵BD⊥AB，AB⊥DH，∴BH⊥AB，
∴AH²=AB²+BH²=AB²+（BD²-h²）②
將②代入①，得：（24-h）²+7²+（24²-h²）=25²，解得h=12，
于是$sin∠DBH=\frac{1}{2}$，∴∠DBH=30°，即BD與α所成的是30°．
（2）解：∵$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}$，$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN}$，
∴2$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$．
∴$\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BD}$共面．
∴一定存在一個過MN的平面與AC，BD同時平行．
（3）由（2）得$\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$，
∴${\overrightarrow{MN}}^{2}$=$\frac{1}{4}{\overrightarrow{AC}}^{2}$+$\frac{1}{4}{\overrightarrow{BD}}^{2}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{4}×2{4}^{2}$+$\frac{1}{4}×2{4}^{2}$+$\frac{1}{2}×24×24$cos（$\frac{π}{2}-θ$）=288（1+sinθ）．
∴MN=$\sqrt{288（1+sinθ）}$=12$\sqrt{2+2sinθ}$．（θ∈[0，$\frac{π}{2}$））．
∴12$\sqrt{2}$≤MN＜24．
∴當MN大于或大于24米時一定夠用．

點評 本題考查了線面垂直的性質(zhì)，直線共面的判斷，向量法在幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．