Question

已知函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和圖象的對稱軸方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的值域；
（Ⅲ） 令g（x）=f（x-

π

6

），判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并說明理由．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)表達(dá)式為一個角的一個三角函數(shù)的形式，利用周期公式求出函數(shù)的周期，和最值；
（Ⅱ）由x∈[-

π

12

，

π

2

]，則2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到值域；
（Ⅲ）化簡g（x）=f（x-

π

6

），通過函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性即可．

解答： 解：f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+2sin（x-

π

4

）cos（x-

π

4

）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin（2x-

π

2

）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x=-

1

2

cos2x+

3

2

sin2x
=sin（2x-

π

6

）．
（Ⅰ）函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π，令2x-

π

6

=kπ+

π

2

，x=

kπ

2

+

π

3

，k為整數(shù)，
圖象的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

3

，k為整數(shù)；
（Ⅱ）由x∈[-

π

12

，

π

2

]，則2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，
x=-

π

12

，f（x）取最小值-

3

2

，x=

π

3

時，f（x）取最大值1．
則f（x）的值域為[-

3

2

，1]．
（Ⅲ）g（x）為偶函數(shù)．
g（x）=f（x-

π

6

）=sin（2x-

π

3

-

π

6

）=sin（2x-

π

2

）=-cos2x，
由于g（-x）=-cos（-2x）=-cos2x=g（x），
則g（x）為偶函數(shù)．

點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡求值，函數(shù)的周期的求法，奇偶性的判斷，函數(shù)的值域的求法，考查計算能力．