Question

1．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax-2，其中a∈R，若對于任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，都有x₂•f（x₁）-x₁•f（x₂）＜a（x₁-x₂）成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [1，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． （-∞，1]
• D． （-∞，2]

Answer 1

分析 將不等式變形為：$\frac{f（{x}_{1}）+a}{{x}_{1}}$＜$\frac{f（{x}_{2}）+a}{{x}_{2}}$恒成立，構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{f（x）+a}{x}$，轉(zhuǎn)會為當(dāng)x₁＜x₂時，h（x₁）＜h（x₂）恒成立，為了求a的范圍，所以需要構(gòu)造函數(shù)，可通過求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)單調(diào)性來求它的范圍．

解答 解：∵對于任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，都有x₂•f（x₁）-x₁•f（x₂）＜a（x₁-x₂）成立，
∴不等式等價(jià)為$\frac{f（{x}_{1}）+a}{{x}_{1}}$＜$\frac{f（{x}_{2}）+a}{{x}_{2}}$成立，
令h（x）=$\frac{f（x）+a}{x}$，則不等式等價(jià)為當(dāng)x₁＜x₂時，h（x₁）＜h（x₂）恒成立，
即函數(shù)h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
h（x）=$\frac{{e}^{x}+ax-2+a}{x}$，
則h′（x）=$\frac{x{e}^{x}-{e}^{x}+2-a}{{x}^{2}}$≥0在（0，+∞）上恒成立；
∴xe^x-e^x+2-a≥0；即a-2≤xe^x-e^x恒成立，
令g（x）=xe^x-e^x，∴g′（x）=xe^x＞0；
∴g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
∴g（x）＞g（0）=-1；
∴2-a≥1；
∴a≤1．
∴a的取值范圍是（-∞，1]．
故選：C

點(diǎn)評 本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)條件將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，多次構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．