Question

19．過P（a，b）向圓（x-2）²+（y-3）²=1引切線PT，T為切點，若|PT|=|PO|（O為坐標原點），則切線|PT|的最小值為$\frac{{6\sqrt{13}}}{13}$．

Answer 1

分析 求出圓心坐標和半徑，由兩點的距離公式，由切線長等于P到O點的距離列式求得P的軌跡方程；把|PT|的值轉(zhuǎn)化為|PO|的值，由點到直線的距離公式求解原點到直線的距離，可得|PT|的最小值．

解答 解：由（x-2）²+（y-3）²=1．
可得圓心C的坐標為（2，3），半徑等于1．
由P（a，b），則|PT|²=（a-2）²+（b-3）²-1²=a²+b²-4a-6b+12，
|PO|²=a²+b²．
由|PT|=|PO|，得a²+b²-4a-6b+12=a²+b²．
整理得：2a+3b-6=0．
∴a，b滿足的關系為：2a+3b-6=0；
求|PT|的最小值，就是求|PO|的最小值．
在直線2a+3b-6=0上取一點到原點距離最小，
由“垂線段最短”得，直線OP垂直直線2a+3b-6=0，
由點到直線的距離公式得：PT的最小值為：$\frac{|-6|}{\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{{6\sqrt{13}}}{13}$．
故答案為：$\frac{{6\sqrt{13}}}{13}$．

點評 本題考查了軌跡方程的求法，考查了直線與圓的位置關系，訓練了點到直線的距離公式的應用，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．