Question

10．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足a₅+a₄-a₃-a₂=5，則a₆+a₇的最小值為（　�。�

• A． 32
• B． 10+10$\sqrt{2}$
• C． 20
• D． 28

Answer 1

分析 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞1，由于a₅+a₄-a₃-a₂=5，可得（q²-1）（a₃+a₂）=5．因此a₆+a₇=q⁴（a₃+a₂）=$\frac{5{q}^{4}}{{q}^{2}-1}$=$5[（{q}^{2}-1）+\frac{1}{{q}^{2}-1}]+10$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞1，
∵a₅+a₄-a₃-a₂=5，
∴（q²-1）（a₃+a₂）=5．
則a₆+a₇=q⁴（a₃+a₂）=$\frac{5{q}^{4}}{{q}^{2}-1}$=$\frac{5（{q}^{4}-1）+5}{{q}^{2}-1}$=$5[（{q}^{2}-1）+\frac{1}{{q}^{2}-1}]+10$≥$5×2\sqrt{（{q}^{2}-1）•\frac{1}{{q}^{2}-1}}$+10=20，當(dāng)且僅當(dāng)q²=2，即q=$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．