Question

19．設(shè)f（x）是偶函數(shù)，且在[0，+∞）上單調(diào)，則滿足f（x）=f（$\frac{x+3}{x+4}$）的所有x之和為-8．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的單調(diào)性和奇偶性，可以將問(wèn)題等價(jià)為：$\frac{x+3}{x+4}$=±x，再利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．

解答 解：∵f（x）為偶函數(shù)，∴函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
且[0，+∞）上f（x）是單調(diào)函數(shù)，
則由f（x）=f（$\frac{x+3}{x+4}$）得，$\frac{x+3}{x+4}$=±x，分類討論如下：
①當(dāng)$\frac{x+3}{x+4}$=x時(shí)，得x²+3x-3=0，
由韋達(dá)定理得，x₁+x₂=-3；
②當(dāng)$\frac{x+3}{x+4}$=-x時(shí)，得x²+5x+3=0，
由韋達(dá)定理得，x₃+x₄=-5；
綜合以上討論，所有根之和為：x₁+x₂+x₃+x₄=-3-5=-8，
故答案為：-8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的圖象與性質(zhì)和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的解題思想，屬于中檔題．