Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點．
（1）證明BE⊥DC；
（2）求二面角E-AB-P的值；
（3）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，建立空間直角坐標系，只要證明$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DC}$=0，即可得出$\overrightarrow{BE}$⊥$\overrightarrow{DC}$．
（2）設平面ABE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，可得取$\overrightarrow{n}$，取平面PAB的法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），設二面角E-AB-P的平面角為θ，利用cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．
（3）$\overrightarrow{BD}$=（-2，-1，0），$\overrightarrow{BP}$=（0，-1，2），設平面PBD的法向量為$\overrightarrow{u}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，即可得出$\overrightarrow{u}$，設直線BE與平面PBD所成角的為α，利用sinα=|cos$＜\overrightarrow{u}，\overrightarrow{BE}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{u}•\overrightarrow{BE}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{BE}|}$即可得出．

解答 （1）證明：如圖所示，建立空間直角坐標系，
A（0，0，0），B（0，1，0），P（0，0，2），C（-2，2，0），D（-2，0，0），E（-1，1，1），
∴$\overrightarrow{BE}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DC}$=0，
∴$\overrightarrow{BE}$⊥$\overrightarrow{DC}$，
∴BE⊥DC．
（2）解：$\overrightarrow{AB}$=（0，1，0），
設平面ABE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{-x+z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
取平面PAB的法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設二面角E-AB-P的平面角為θ，
cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由圖可知：二面角E-AB-P的平面角θ為銳角，
∴$θ=\frac{π}{4}$．
（3）解：$\overrightarrow{BD}$=（-2，-1，0），$\overrightarrow{BP}$=（0，-1，2），
設平面PBD的法向量為$\overrightarrow{u}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，化為$\left\{\begin{array}{l}{-2x-y=0}\\{-y+2z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{u}$=（1，-2，-1），
設直線BE與平面PBD所成角的為α，
則sinα=|cos$＜\overrightarrow{u}，\overrightarrow{BE}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{u}•\overrightarrow{BE}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了通過建立空間直角坐標系求空間角、證明垂直，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．