Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²-2|x|+1，g（x）=-x²+bx+b-5，若g（f（x））=0恰好有5個不同的解，則g（x）≤0的解集為（-∞，1]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，利用換元法，結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出b的值，結(jié)合一元二次不等式的解法進行求解即可．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
設(shè)t=f（x），
則當t=0或t＞1時，t=f（x）有兩個不同的根，
當t=1時，t=f（x）有3個不同的根，
若g（f（x））=0恰好有5個不同的解，
則等價為g（t）=0有兩個不同的根，其中一根為t=1，
即g（1）=-1+b+b-5=2b-6=0，
得b=3，
此時g（x）=-x²+3x-2，
由g（x）≤0得-x²+3x-2≤0，
即x²-3x+2≥0，
解得x≥2或x≤1，
即不等式的解集為（-∞，1]∪[2，+∞），
故答案為：（-∞，1]∪[2，+∞）

點評 本題主要考查根的存在性的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵．注意要利用數(shù)形結(jié)合．