Question

7．設(shè)圓x²+y²=12與拋物線x²=4y相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若過點(diǎn)F且斜率為1的直線l與拋物線和圓交于四個(gè)不同的點(diǎn)，從左至右依次為P₁，P₂，P₃，P₄，則|P₁P₂|+|P₃P₄|的值5$\sqrt{2}$，若直線m與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)，且與圓相切，切點(diǎn)D在劣弧$\widehat{AB}$上，則|MF|+|NF|的取值范圍是[2+4$\sqrt{3}$，22]．

Answer 1

分析 由圓的方程和拋物線的方程聯(lián)解，求得交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而判斷直線l與圓交于P₁、P₃，直線l與拋物線交于P₂、P₄，另|P₁P₂|+|P₃+P₄|的表達(dá)式用P₁，P₂，P₃，P₄的四點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，代入表達(dá)式，即解；先設(shè)直線m的方程y=k+b，交點(diǎn)M、N坐標(biāo)，再用點(diǎn)M、N縱坐標(biāo)表示出|MF|+|NF|，由與圓相切，得到k與b的關(guān)系，消去k用b表示|MF|+|NF|，即得到關(guān)于b的一個(gè)函數(shù)，由k_OA=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，k_OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得到k的范圍，由此求得b的范圍，再將b的代入|MF|+|NF|的函數(shù)關(guān)系式中并求出其范圍．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=12}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}}\\{y=2}\end{array}\right.$，
即A（-2$\sqrt{2}$，2），B（2$\sqrt{2}$，2）．
∵點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1），∴k_FB=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，∴k_l＞k_FB，
所以直線l與圓交于P₁、P₃兩點(diǎn)，與拋物線交于P₂、P₄兩點(diǎn)，
設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），P₄（x₄，y₄）
把直線l方程：y=x+1代入x²=4y，得x²-4x-4=0，∴x₂+x₄=4；
把直線l方程：y=x+1代入x²+y²=12，得2x²+2x-11=0，∴x₁+x₃=-1
∴|P₁P₂|+|P₃P₄|=$\sqrt{2}$[（x₂-x₁）+（x₄-x₃）]=$\sqrt{2}$[（x₂+x₄）-（x₁+x₃）]=5$\sqrt{2}$
所以|P₁P₂|+|P₃P₄|的值等于5$\sqrt{2}$．
設(shè)直線m的方程為y=k+b（b＞0），
代入拋物線方程得x²-4kx-4b=0，
設(shè)點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，
則y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=4k²+2b，
∵直線m與該圓相切，∴$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{12}$，即${k}^{2}=\frac{^{2}}{12}-1$，
又|MF|=y₁+1，|NF|=y₂+1，
∴|MF|+|NF|=y₁+y₂+2=4k²+2b+2=$\frac{1}{3}（b+3）^{2}-5$
∵k_OA=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，k_OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴分別過A、B的圓的切線的斜率為$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$．
∴k∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，∴0≤k²≤2，∴0≤$\frac{^{2}}{12}$-1≤12，
∵b＞0，∴b∈[2$\sqrt{3}$，6]
所以|MF|+|NF|的取值范圍為[2+4$\sqrt{3}$，22]．
故答案為：5$\sqrt{2}$；[2+4$\sqrt{3}$，22]．

點(diǎn)評 此題考查用坐標(biāo)法解決圓錐曲線問題，在解題過程中還考查了弦長公式的運(yùn)用，同時(shí)還考查學(xué)生的計(jì)算技巧中設(shè)而不求的方法．