Question

12．設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，且S_n=n²+n+1，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)列通項和前n項和的關(guān)系：當(dāng)n=1時，a₁=S₁；當(dāng)n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，計算即可得到所求通項公式；
（2）求得當(dāng)n=1時，T₁=$\frac{1}{12}$；當(dāng)n≥2時，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），由數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡即可得到所求和．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1+1+1=3；
當(dāng)n≥2時，S_n=n²+n+1，
S_n-1=（n-1）²+（n-1）+1，
兩式相減得：a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）
=（2n-1）+1=2n．
但a₁=3不符合上式，
因此a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{2n，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)n=1時，T₁=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$=$\frac{1}{3•4}$=$\frac{1}{12}$；
當(dāng)n≥2時，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
前n項和T_n=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{5}{24}$-$\frac{1}{4（n+1）}$．
且T₁=$\frac{1}{12}$符合上式，
因此T_n=$\frac{5}{24}$-$\frac{1}{4（n+1）}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運(yùn)用數(shù)列通項和前n項和的關(guān)系：當(dāng)n=1時，a₁=S₁；當(dāng)n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．