Question

7．已知y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+2）^{2}-1，x＜-1}\\{0，-1≤x≤0}\end{array}\right.$，當(dāng)函數(shù)y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$-k（x-2）（其中k＞0）的零點(diǎn)個數(shù)取得最大值時，則實(shí)數(shù)k的數(shù)值范圍是（　　）

• A． （0，6-$\sqrt{30}$）
• B． （6-$\sqrt{30}$，2$-\sqrt{2}$）
• C． （$\frac{1}{4}$，6-$\sqrt{30}$）
• D． （$\frac{1}{4}$，2-$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 畫出函數(shù)y=f（x-1）的圖象，可得y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$與y=f（x-1）的圖象最多有5個交點(diǎn)，即函數(shù)y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$-k（x-2）至多有5個零點(diǎn)，求出函數(shù)圖象交點(diǎn)為4個時的臨界值，可得答案．

解答 解：∵y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+2）^{2}-1，x＜-1}\\{0，-1≤x≤0}\end{array}\right.$，
∴函數(shù)y=f（x-1）的圖象如下圖所示：

y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$表示過（2，$\frac{1}{2}$）點(diǎn)斜率為k的直線，
由圖可得：y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$與y=f（x-1）的圖象最多有5個交點(diǎn)，
即函數(shù)y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$-k（x-2）至多有5個零點(diǎn)，
當(dāng)k=$\frac{1}{4}$時，直線y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$過原點(diǎn)，
此時y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$與y=f（x-1）的圖象有4交點(diǎn)，即函數(shù)y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$-k（x-2）有4個零點(diǎn)；
當(dāng)k=6-$\sqrt{30}$時，直線y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$與y=f（x-1）的圖象拋物線部分相切，
此時y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$與y=f（x-1）的圖象有4交點(diǎn)，即函數(shù)y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$-k（x-2）有4個零點(diǎn)；
故當(dāng)函數(shù)y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$-k（x-2）（其中k＞0）的零點(diǎn)個數(shù)取得最大值時，
k∈（$\frac{1}{4}$，6-$\sqrt{30}$），
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．