Question

14．在等腰三角形中，已知頂角θ的正弦值為$\frac{3}{5}$，試求該三角形底角的正弦、余弦和正切值．

Answer 1

分析 設(shè)出底角為α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理表示出底角，由題意得到sinα的值，由α為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα的值，進(jìn)一步求得三角形底角的正弦、余弦和正切值．

解答 解：設(shè)等腰三角形的底角為α，則2α+θ=π，
∴$α=\frac{π-θ}{2}=\frac{π}{2}-\frac{θ}{2}$，
又sin$θ=\frac{3}{5}$，
∴cosθ=$±\frac{4}{5}$，
當(dāng)cos$θ=\frac{4}{5}$時(shí)，sinα=sin（$\frac{π}{2}-\frac{θ}{2}$）=cos$\frac{θ}{2}$=$\sqrt{\frac{1+cosθ}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}=\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{10}}{10}）^{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}=3$；
當(dāng)cosθ=$-\frac{4}{5}$時(shí)，sinα=sin（$\frac{π}{2}-\frac{θ}{2}$）=cos$\frac{θ}{2}$=$\sqrt{\frac{1+cosθ}{2}}$=$\sqrt{\frac{1-\frac{4}{5}}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$，
cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}=\sqrt{1-（\frac{\sqrt{10}}{10}）^{2}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}=\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，以及二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵，是中檔題．