Question

11．在△ABC中，AB=AC，E為AC邊上的點(diǎn)，且AC=3AE，BE=2，則△ABC的面積的最大值為$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)余弦定理和同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及三角形的面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可．

解答 解：如圖：設(shè)AB=AC=3x，
∵AC=3AE，
∴AE=x，
在三角形ABE中，根據(jù)余弦定理可得，
cosA=$\frac{A{B}^{2}+A{E}^{2}-B{E}^{2}}{2AB•AE}$=$\frac{10{x}^{2}-4}{6{x}^{2}}$=$\frac{5}{3}$-$\frac{2}{3{x}^{2}}$
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2}{3{x}^{2}}$$\sqrt{-4{x}^{4}+5{x}^{2}-1}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC•sinA=$\frac{1}{2}$×9×$\frac{2}{3}$$\sqrt{-4{x}^{4}+5{x}^{2}-1}$=3$\sqrt{-4（{x}^{2}-\frac{5}{8}）^{2}+\frac{9}{16}}$≤$\frac{9}{4}$
故答案為：$\frac{9}{4}$

點(diǎn)評 本題考查了余弦定理和同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及三角形的面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．