Question

19．平面直角坐標系xOy中，雙曲線C₁：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的漸近線與拋物線C₂：x²=2py（p＞0）交于點O，A，B．若△OAB的垂心為C₂的焦點，則C₁的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由三角形垂心的性質(zhì)，得BF⊥OA，即k_BF•k_OA=-1，由此可得C₁的離心率．

解答 解：聯(lián)立漸近線與拋物線方程得A（$\frac{2pb}{a}$，$\frac{2p^{2}}{{a}^{2}}$），B（-$\frac{2pb}{a}$，$\frac{2p^{2}}{{a}^{2}}$），拋物線焦點為F（0，$\frac{p}{2}$），
由三角形垂心的性質(zhì)，得BF⊥OA，即k_BF•k_OA=-1，
所以$（\frac{a}{4b}-\frac{a}）\frac{a}$-1，所以b=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
所以c=$\frac{3}{2}$a，所以C₁的離心率為$\frac{3}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，聯(lián)立方程組，根據(jù)三角形垂心的性質(zhì)，得BF⊥OA是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計算能力．