Question

已知ABCD中，AD=BC．AD∥BC，且AB=3

2

，AD=2

3

．BD=

6

，沿BD將其折成一個(gè)二面角A-BD-C，使得AB⊥CD．
（1）求二面角A-BD-C的大�。�
（2）求折后點(diǎn)A到面BCD的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專(zhuān)題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）作AO⊥平面BCD于O，連接BO，則∠ABO為AB與平面BCD所成角．由AB⊥CD，BO是AB在平面BCD上的射影，知CD⊥BO．由AD⊥BD，可得∠ADO為二面角A-BD-C的平面角，求出cos∠ABO=

2

2

，可得AO，即可得出結(jié)論；
（2）由（1）知，AO=3，即折后點(diǎn)A到面BCD的距離．

解答： 解：（1）作AO⊥平面BCD于O，連接BO，
則∠ABO為AB與平面BCD所成角．
∵AB⊥CD，BO是AB在平面BCD上的射影，
∴CD⊥BO
∵AB=3

2

，AD=2

3

，BD=

6

，
∴AD⊥BD，
∴∠ADO為二面角A-BD-C的平面角．
∵cos∠ABD=cos∠DBO•cos∠ABO，
∴

6

3 2

=

2 3

3 2

•cos∠ABO，
∴cos∠ABO=

2

2

∴AO=3，
∴sin∠ADO=

3

2 3

=

3

2

，
∴∠ADO=60°；
（2）由（1）知，AO=3，即折后點(diǎn)A到面BCD的距離為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查折后二面角A-BD-C的大小，折后點(diǎn)A到面BCD的距離．考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，確定折后點(diǎn)A到面BCD的距離是關(guān)鍵．